Integración por el método de Villarreal – Parte III

En esta ocasión tratamos la tercera y última parte del método de integración por traspasos del Dr. Federico Villarreal. Inserto el documento en PDF el cual presenté a la Revista Escolar de la Olimpiada Iberoamericana de Matemática (Reoim):

Integración por el método de Villarreal – Parte II

MÉTODO DE TRASPASOS
Después de una pausa en el desarrollo del tema “Integración por el método de traspasos” continuamos en esta oportunidad con la descripción del método, antes haremos notorio algunas observaciones relativas a las técnicas de integración.

Observaciones:

  1. El método de integración inmediata tiene sus reglas fijas , La inversa de la derivación:
    \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + cte , o tambien \int \sqrt{x} dx = \frac{2}{3}\sqrt{x^3}+ cte (cte: constante real)
  2. El método de integración por sustitución no posee sus reglas fijas, pues depende de los casos que se presenten:
    1. Para convertir en algebraica una expresión trascendente \int \ln(x+1)\cos{x} dx
    2. Para bajar el orden de las ecuaciones integrales, para hacerlas homogéneas, etc (esto constituye parte de la teoria de ecuaciones integrales)
    3. Para hacer racional a una función inconmensurable \int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx}
  3. El método de integración por sumandos tambien tiene sus reglas fijas:
    1. Si el denominador de la fracción tiene raíces iguales \int{\frac{dx}{x^2-6x+9}}
    2. Si el denominador tiene raíces distintas \int{\frac{dx}{x^2+3x+10}}
    3. Si el denominador tiene raíces imaginarias \int{\frac{dx}{x^2+1}}
  4. Sin embargo no se ha hecho lo mismo con la integración por factores, atendiendo a ello Juan Bernoulli sentó lo que se denomina la base del cálculo integral (en analogía a lo que el método de Taylor lo es al cálculo diferencial). Así considerando como factor constante dx tenemos:
  5. y=\int{f(x)}dx=xf(x) - \int{f^{\prime}(x)x}dx
    Pero \int{f^{\prime}(x)x}dx=\frac{x^2}{2} f^{\prime}(x) -\frac{1}{2}\int{f^{\prime\prime}(x)x^2}dx
    Así y=xf(x) - \frac{x^2}{2!}f^{\prime}(x) + \frac{1}{2!}\int{f^{\prime\prime}(x)x^2}dx

    Procediendo análogamente para la ultima integral:
    y= xf(x) - \frac{x^2}{2!}f^{\prime}(x)+ \frac{x^3}{3!}f^{\prime\prime}(x) - \frac{x^4}{4!}f^{\prime\prime\prime}(x) + \cdots (*)

    Si bien es cierto que el factor dx se presenta de forma natural, el método no supone que precisamente deba tomarse ese factor sino cualquier otro, ya que al hacerlo lo particulariza, esto es la escencia del método de integración por traspasos del Dr. Federico Villarreal.

PRINCIPIO DE INTEGRACIÓN POR TRASPASOS
Dada la expresión y=\int{f(x)}dx siempre es posible expresarla en la forma y=\int{A\cdot dB} y “sin hacer traspasos” de términos, podemos interpretar la fórmula (*) del modo siguiente:

  1. Tomar A después diferenciarla y dividir por dx, volver a diferenciar y dividir por dx, etc. Es decir, calcular las derivadas sucesivas de A.
  2. Tomar B después multiplicarla por dx e integrar, volver a multiplicar por dx e integrar, etc. Es decir, calcular las integrales multiples de B.
  3. Multiplicar los resultados homólogos y dar los signos mas y menos, es decir
    A\cdot B - A^{\prime}\cdot \int{B} dx+ A^{\prime\prime}\cdot \int\int{B} dx- A^{\prime\prime\prime}\cdot \int\int\int{B} dx\cdots (**)
    Como por la diferenciación va aumentando el coeficiente y disminuyendo el exponente, cuando este sea cero la derivada es constante y la siguiente será cero, por tanto en este caso habrá integración exacta. Así tambien, como por la integración va disminuyendo el coeficiente y aumentando el exponente resulta que si una integración es constante la siguiente no será cero, pues al multiplicar por dx la integración dará x, pero si el exponente es negativo la integración llegará a ser infinita, y en este caso la integral (como se sabe) es un logaritmo.

Ejemplo: Sea la función x^4, cuya integral puede ser expresada en formas distintas y por tanto el factor dx no es el único que se presenta de forma “natural“, así pues:
z=\int{x^4}dx= \int{x^2 \times x^2}dx= \int{x^2 \times\int{x^2}dx}= \int{x^2 \times d(\frac{x^3}{3})}

aplicando el método para A=x^2 y B=\frac{x^3}{3} tenemos en cada caso:
A=x^2; \frac{dA}{dx}=2x; \frac{d^{2}A}{dx^{2}}=2; \frac{d^{3}A}{dx^{3}}=0; B=\frac{x^3}{3}; \int{B}dx= \frac{x^4}{12}; \int{(\int{B}dx)}dx = \frac{x^5}{60}

note que no consideramos la cuarta iteración para B puesto que la cuarta iteración para A fue cero, luego la integral resultante de acuerdo a (**) será:
z= \frac{x^5}{3}- \frac{x^5}{6}+ \frac{x^5}{30}= \frac{x^5}{5}

si bien es cierto la función considerada para la integración es bastante simple, nos permite hacer notar la recursividad del método y la tendencia a buscar una generalización del mismo (esto en realidad constituye un caso muy simple del método de traspasos del Dr. Federico Villarreal, note que si estamos realizando traspasos, con la descripción de la siguiente sección podrá usted darse cuenta de ello y corroborará que la manera de hacerlo constituye un caso trivial).

Para fijar notación al término A lo denominaremos factor integral en tanto que B será el factor integral, esto debido a las derivaciones e integraciones sucesivas que se realizan en cada paso (o proceso de iteración) a considerar.

VARIANTES DEL MÉTODO DE TRASPASOS
Los traspasos pueden ser realizados de dos maneras, de A a B o de B a A, así como tambien es posible considerar un proceso “misturado” de ambos, pero por el momento solo consideraremos los dos primeros casos y dejaremos el ultimo para el próximo post.

  1. Traspaso del factor diferencial al factor integral: en este primer caso estamos considerando el traspaso de A a B, así pues la función z expresada como z=\int{A}dB esta en su forma “natural“, e indicamos la regla de formación: “se saca la derivada dA y se traspasa a B lo que se quiera (sea factor o divisor, constante o variable), después se integra B (la expresión resultante es B_1). Se vuelve a derivar, en este caso a A_1, y se hace el traspaso a B_1 en seguida se integra B_1 (la expresión resultante es B_2), etc.” En resumen:
  2. Primer paso: A \Rightarrow B, no efectuamos ninguna operación, tan solo escogemos los A y B adecuados.
    Segundo paso: dA=T_1\cdot A_1 \Rightarrow \int{B\cdot T_1}dx = B_1, donde T_1 es el término a traspasar.
    Tercer paso: dA_1=T_2\cdot A_2 \Rightarrow \int{B_1\cdot T_2}dx = B_2, donde T_2 es el nuevo término a traspasar.
    etc.
    Ultimo paso: Colocamos los terminos A_i, B_i para obtener el resultado final del proceso de integración:
    z=\int{A dB}= \sum{\pm A_i\cdot B_i}, i=0,1,\ldots,m, (m es el número de pasos y A_0=A, B_0=B).

    Por esta operación se disminuye el cálculo a bondad, puesto que se puede traspasar toda la variable (pero de modo que se pueda integrar B) asi la siguiente diferencial será cero y por lo tanto se acorta el cálculo.

    Ejemplo: Sea la función z=\int{x^4}dx damos la forma que deseamos z=\int{x^2\cdot d(\frac{x^3}{3})} luego aplicando la regla de formación:

    Primer paso: A=x^2 \Rightarrow B=\frac{x^3}{3}, no efectuamos ninguna operación, tan solo identificamos A y B.
    Segundo paso: dA=x\cdot 2=T_1\cdot A_1 \Rightarrow \int{\frac{x^3}{3}\cdot x}dx = \frac{x^5}{15} =B_1, donde T_1=x es el término a traspasar.
    Tercer paso: dA_1=d(2)=0, puesto que la derivada es nula, paramos el proceso.
    Ultimo paso: Colocamos los terminos A_0, A_1, B_0, B_1 para obtener el resultado final del proceso de integración:
    z=\int{x^4}dx= A_0\cdot B_0 - A_1\cdot B_1 =x^2\cdot \frac{x^3}{3}- 2\cdot \frac{x^5}{15}=\frac{x^5}{5}

  3. Traspaso del factor integral al factor diferencial: en este segundo caso estamos considerando el traspaso de B a A, así pues la función z expresada como z=\int{A}dB esta en su forma “natural“, e indicamos la regla de formación: “se saca la derivada dA y se traspasa lo que se quiera de B, después se integra B (la expresión resultante es B_1). Se vuelve a derivar, en este caso a A_1 (expresión que resulta de multiplicar la derivada de A por el termino traspasado de B), y se traspasa lo que se desea de B_1 en seguida se integra B_1 (la expresión resultante es B_2), etc.” En resumen:
  4. Primer paso: A \Rightarrow B, no efectuamos ninguna operación, tan solo escogemos los A y B adecuados.
    Segundo paso: dA\cdot T_1=A_1 \Rightarrow \int{B^{*}_{1}}dx = B_1, donde B=T_1\cdot B^{*}_{1} y T_1 es el término traspasado a dA.
    Tercer paso: dA_1\cdot T_2= A_2 \Rightarrow \int{B^{*}_{2}}dx = B_2, donde B_1=T_2\cdot B^{*}_{2} y T_2 es el término traspasado a dA_1.
    etc.
    Ultimo paso: Colocamos los terminos A_i, B_i para obtener el resultado final del proceso de integración:
    z=\int{A dB}= \sum{\pm A_i\cdot B_i}, i=0,1,\ldots,m, (m es el número de pasos y A_0=A, B_0=B).

    Ejemplo: Sea la función z=\int{x^4}dx damos la forma que deseamos z=\int{x^2\cdot d(\frac{x^3}{3})} luego aplicando la nueva regla de formación:

    Primer paso: A=x^2 \Rightarrow B=\frac{x^3}{3}, no efectuamos ninguna operación, tan solo identificamos A y B.
    Segundo paso: dA\cdot T_1=2x\cdot x =2x^2 \Rightarrow \int{B^{*}_{1}}dx =\int{\frac{x^2}{3}}=\frac{x^3}{3^2}= B_1, donde B=T_1\cdot B^{*}_{1}=x\cdot \frac{x^2}{3} y T_1=x es el término traspasado a dA.
    Tercer paso: dA_1\cdot T_2= 2^2x\cdot x= 2^2x^2= A_2 \Rightarrow \int{B^{*}_{2}}dx = \int{\frac{x^2}{3^2}}=\frac{x^3}{3^3}= B_2, donde B_1=T_2\cdot B^{*}_{2}=x\cdot \frac{x^2}{3^2} y T_2=x es el término traspasado a dA_1.
    siguiendo de forma similar obtendremos una serie infinita (no siempre es el caso).
    Ultimo paso: Colocamos los terminos A_i, B_i para obtener el resultado final del proceso de integración:
    z=\int{A dB}= A_0\cdot B_0 -A_1\cdot B_1 + A_2\cdot B_2 \cdots=\frac{x^5}{3}- \frac{2x^5}{3^2}+ \frac{2^2x^5}{3^3}- \frac{2^3x^5}{3^4}\cdots, (aquí A_0=A, B_0=B).

    Este ejemplo muestra que dada una integral esta puede ser aproximada por una serie infinita, para nuestro caso dicha serie converge a \frac{x^5}{5}, así suponiendo x=1 se tiene:
    \frac{1}{5}= \frac{1}{3}- \frac{2}{3^2}+ \frac{2^2}{3^3}- \frac{2^3}{3^4}\cdots

    en efecto, siendo esta progresión geométrica decreciente (cuya razón es \frac{-2}{3}) tendremos:
    \frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{2}{3}}= \frac{1}{5}.

Paramos en este punto para tratar en el próximo post una mistura de los métodos anteriores y una aplicación haciendo uso de tal proceso (misturado), además de una observación sobre exponentes negativos.

Sobre LaTeX en Windows

Hola, en esta nueva categoría iremos a vertir una serie de plantillas y sugerencias para un mejor desempeño en el uso de LaTeX. A continuación iremos a colocar unas motivaciones (tomadas del libro: LaTeX una imprenta en tus manos, de Cascales y Pallarés) par el uso del software:
 

Si tienes que escribir una tesis, una memoria, un trabajo… ¡concntrate en lo esencial! ¡concentrate en el contenido! Deja que un profesional se ocupe de que la presentación sea la adecuada. Confía en LaTeX.

¿Sabes como componer textos con la presentación y calidad profesional que se obtiene en una buena imprenta? ¿Tienes claro qué tipo de letra y tamaño es adecuado para las cabeceras de capítulo, las secciones, las notas a pie de página, la bibliografía,etc?, ¿Has pensado en lo penoso que puede resultar hacer un índice terminológico en que se indique la página o páginas en que aparece un concepto o un término?

Una redacción es algo cambiante, cualquier versión “definitiva” acaba siendo la penúltima. Introducir una nueva referencia bibliográfica, suprimir una sección, introducir un nuevo párrafo,… puede convertirse en una pesadilla si se quiere que las referencias y las autorreferencias en el texto sean exactas.LaTeX hace todo eso por tí de forma inmediata y sin equivocaciones. Basta que le digas a ese “impresor profesional” que algo es una sección, un capítulo,… el sabe como tratarlo, lo ha aprendido de los mejores manuales sobre el trabajo de los impresores… sabe más sobre ese tema que la mayoría de los autores.

Y si el texto tiene fórmulas o estructuras matemáticas … ¡no lo dudes ni un instante!, LaTeX es la solución más adecuada.

El Prof. Donald E. Knuth de la Universidad de Stanford creó TeX a instancias de la American Mathematical Society con el objetivo de dar respuesta a esos problemas. Actualmente es el medio empleado más universalmente para escribir textos científicos en todas las Universidades del mundo. Es el medio que utilizan para publicar muchas de las revistas especializadas, y es un estándar para el intercambio de originales.

Pero no temas, puedes seguir utilizando tu editor favorito. Porque… LaTeX no es un editor de textos. LaTeX es un compilador, una herramienta capaz de dar formato a los textos con el nivel de calidad de una imprenta a partir de ciertas informaciones que tú le proporcionas: que ésto corresponde al título de una sección, o que aquéllo es un teorema o una fórmula; que estás escribiendo un verso, o una referencia cruzada en el propio texto… puedes hacer desaparecer de forma automática (sin tener que borrarlos) las notas al margen o los comentarios que introduces en el borrador y que no son aptos para la versión definitiva.

LaTeX tiene mucha información sobre los problemas de edición que se plantean a los autores de un trabajo científico. Y por ello es muy flexible y capaz de aprender para adaptarse a una necesidad específica.

Integración por el método de Villarreal – Parte I

Federico Villarreal al presentar su tesis de Bachiller ante la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (Lima – Perú), realizó una observación notable sobre el método de integración por partes. Dada la importancia del tema, este será tratado en tres post, cada uno de los cuales indicará una subparte de la misma, los puntos a tratar serán:

  1. Sobre expresiones suceptibles de generalización (tratado ahora).
  2. Método de traspasos.
  3. Aplicación del método de traspasos.

Es claro que no describiremos la teoría de integración (en el sentido de riemann), el presente desarrollo asumirá que el lector posee por lo menos nociones sobre el proceso de integración.

SOBRE EXPRESIONES SUCEPTIBLES DE GENERALIZACIÓN

Es bien conocido que las operaciones aritméticas de composición (+, \times()^n) y descomposición (-\div\sqrt[n]{{}}) cuando son tomadas en forma sucesiva no siempre es posible invertir el orden en la que se operan. Por ejemplo: a la cantidad a agregarle b y quitarle c es lo mismo que quitarle primero c y agregarle después b, es decir (a+b)-c=(a-c)+b

Pero si a la cantidad a se agrega b y se multiplica por c no es lo mismo que multiplicar a por c y agregar b, es decir: (a+b)c \ne ac+b sino que debe añadirse bc para obtener el mismo resultado. Podemos resumir lo mencionado líneas arriba mediante el siguiente principio:

“cuando hay dos operaciones sucesivas de composición o descomposición, ambas del mismo orden, se puede invertir su cálculo; pero si son de distinto orden no se puede cambiar su enunciado sino con cierta condición; más si una o ambas operaciones son imposibles no es permitida su permutación”…(#)

El anterior principio sirve para mostrar que existen diferentes proposiciones suceptibles de una expresión general. Es así que el Dr. Villarreal plantea presentar el caso de integración por partes como uno suceptible de generalización.

Pasamos ahora a recordar (brevemente) en que se basa el método de integración por partes:

(f(x)\cdot g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^{\prime}(x), esto por la regla de la derivada de un producto.

\Rightarrow \int (f(x)\cdot g(x))^{\prime}\partial x = \int f^{\prime}\cdot g(x) \partial x+ \int f(x)\cdot g^{\prime}(x)\partial x, integrando a ambos lados de la igualdad.

\Rightarrow \int f(x)\cdot g^{\prime}(x) \partial x = f(x)\cdot g(x) - \int f^{\prime}(x)\cdot g(x)\partial x , usando el hecho que la derivada e integral son operadores inversos y despejando adecuadamente.

Podemos notar entonces que dada una integral y=\int{f(x)}dx esta es posible escribirla como y=\int{A\cdot dB} siendo esta ultima expresada por la combinación de dos términos con signos alternados. Esto da pie a considerar la integración por partes como suceptible de generalización y a corroborar lo dicho en (#) puesto que y=\int{f(x)}dx escrita en términos de A, B tomará una forma mas simple o complicada segun sean A y B escogidos en forma adecuada.

Recordemos tambien que el método de integración por partes puede subdividirse en dos casos:

  • Descomponiendo la función en sumandos: este método es aplicable a funciones racionales, que descompuestos en sus fracciones parciales se pueden integrar algebraicamente o por logaritmos o por arco tangentes.
  • Descomponiendo la función en factores: aplicable a los demás casos.

Al segundo método se le ha dado (impropiamente) el nombre de integración por partes, pues aunque los factores pueden considerarse como partes de ese producto, tambien lo son los sumandos como parte del total. Por tanto a los dos juntos deberían llamarseles integración por partes, a la primera integración por sumandos y a la segunda integración por factores.

Habiendo hecho notar los principios sobre los cuales el Dr. Federico Villarreal inicia su estudio sobre la integración por traspasos, finalizamos la primera parte. Dejando para el siguiente post la descripción del método en si.

Video: Introducción A Curvas Algebraicas

Curvas Algebraicas – Parte 1 from Moisés Toledo on Vimeo.

Curso impartido en el IMPA, por la Profesora Carolina Araujo.

Sobre Los Cuadrados Mágicos

Sobre Los Cuadrados Mágicos

¿Qué valores serán los correctos?

En esta oportunidad estableceremos una regla para construir arreglos rectangulares numéricos. En particular de aquellos  arreglos en los cuales el  número de filas es igual al número de columnas y   a su vez la suma de los elementos de cualquier fila, columna y diagonal (principal y secundaria)  es el mismo.  Dichos arreglos serán denominados  “Cuadrados Mágicos”, citamos un ejemplo para ser más específicos:

Cuadrado Mágico de 3x3

                                                                                     Arreglo rectangular de 3 filas y 3 columnas

SOBRE EL AUTOR DEL MÉTODO

El Matemático Indio Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920) fué un personaje de un talento excepcional, quien mientras se encontraba en su país  nunca dispuso de un libro de matemática avanzada a su alcance y sin embargo los resultados que anotaba en su “cuaderno formulario” eran realmente sorprendentes.

Ramanujan fue llevado a la Universidad de Cambridge – Inglaterra – gracias al interés mostrado por el Matemático Ingles G.H. Hardy, quien a raíz de una carta mandada por Ramanujan (en la cual mostraba una serie de fórmulas, muchas de ellas novedosas) decidió que  este recibiese el apoyo necesario para que pudiera continuar desarrollando su talento.

A la muerte de Ramanujan, G.H. Hardy decidió organizar las notas del “cuaderno formulario” para posteriormente ser publicados. El método que describiremos en esta ocasión está incluida en el primer tomo (de un total de 5) de la publicación.

DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO

Consideremos dos conjuntos finitos de números naturales:

A=\{a_1;a_2;\ldots;a_n\}

B=\{b_1;b_2;\ldots;b_n\}

Entonces el conjunto A+B posee n^{2} elementos. Ubicaremos cada uno de ellos en un arreglo rectangular de n\times n de tal forma que cada elemento aparezca una única vez en cada fila y columna, esta construcción nos dará un “Cuadrado Mágico”.

UN CASO PARTICULAR (3\times 3)

Consiremos los siguientes conjuntos numéricos:

A=\{a_1;a_2;a_3\}

B=\{b_1;b_2;b_3\}

Así:

A+B=\{a_1+b_1; a_1+b_2; a_1+b_3;

a_2+b_1; a_2+b_2; a_2+b_3;a_3+b_1; a_3+b_2; a_3+b_3\}

posee 9=3^{2} elementos, los cuales distribuimos en el siguiente esquema:

Esquema particular

El caso n=3 en el método de Ramanujan

Para que sea considerado un cuadrado mágico es necesario que a_1, a_2, a_3 y b_1, b_2, b_3 sean cada una progresiones aritméticas (P.A).

Veamos como funciona con valores numéricos:

A=\{6, 11, 16\}, sus elementos están en P.A de razón 5

B=\{2, 6, 10\}, sus elementos están en P.A de razón 4

Reemplazando en el esquema de 3\times 3:

El caso n=3

                                                                                      Ejemplo numérico del caso 3×3 aplicando el método de Ramanujan.

ALGUNAS OBSERVACIONES

Este método es tan versátil que podemos realizar “divertidas experiencias”, por ejemplo:

” Construir un cuadrado mágico (de 3×3) tal que la suma de sus filas, columnas y diagonales (principal y secundaria) sea 39 así como también todos sus elementos sean impares

Solución:

A=\{2;6;10\}, sus elementos están en P.A de razón 4

B=\{1;7;13\}, sus elementos están en P.A de razón 6

Los elementos son escogidos de tal forma que sumados resulten 39 (claramente esta no es la única elección) y a su vez la suma dos a dos (a+b tal que a\in A \wedge b\in B) sean impares.

Luego:

Un caso especial

                                                                           Restricción al caso de suma 39 y componentes impares.

RECOMENDACIONES

1.-  Intenta encontrar combinaciones de tal forma que puedas conjeturar casos posibles  y también aquellos imposibles.

2.-  Este método se puede extender para n\geqslant 3 ¿Podrias estimar alguno de esos casos?

3.-  Es posible formar rectángulos con la propiedad: la suma de sus filas y columnas poseen el mismo valor (no podemos decir lo mismo de las diagonales pues estas sólo existen en el caso de igual cantidad de filas y columnas)  ¿Podrías encontrar un ejemplo para el caso 3\times 4 ?

TRACENPOCHE (Software de geometría dinámica)

Tracenpoche es un Software de Geometría Dinámica desarrollado en Francia con la finalidad de poder faciltar la construcción de objetos geométricos y poder interactuar con ellos, desarrollando así una manera de estudiar las distintas propiedades que estas poseen.

I.- ENTORNO DE TRABAJO

Tracenpoche cuenta con siete zonas de trabajo bien definidas:

a) Botones de ejecución

b) Zona de figura

c) Zona de enunciados

d) Zona de escritura

e) Zona de análisis

f) Zona de información

g) Lista de transformaciones


Primer plano del programa

Primer plano del programa


1.1 BOTONES DE EJECUCIÓN: Al abrir el programa se podrá encontrar en la parte lateral izquierda unos botones con unos símbolos fáciles de reconocer, estos nos permitiran realizar las distintas acciones que deseásemos realizar:

Barra de herramientas

Barra de herramientas


1.2 ZONA DE FIGURA: En esta parte se visualizan cada una de las acciones que se vayan a realizar mediante el uso de los botones de la barra de herramientas.

Se visulaizan los cambios

Se visulaizan los cambios


1.3 ZONA DE ENUNCIADOS: Esta parte no es modificable, se activa cuando se carga un archivo.

Esta parte no es modificable

Esta parte no es modificable

1.4 ZONA DE ESCRITURA: Esta parte contiene la secuencia de comandos para crear la figura. Esta  se encuentra dividida en dos partes:

  • @opciones: permite especificar el formato de presentación de la zona de figura.
  • @figura: contiene la descripción textual de la figura. La sintaxis básica es la siguiente: Object_name = nature_objet (parámetro1, parámetro2 ,…) (opción1, opción 2, …)

    Este apartado se completará a medida que los objetos se  vayan creando utilizando los botones de la barra de herramientas. Se puede modificar el contenido de forma manual por ejemplo, para añadir opciones a un objeto y/o para cambiar su apariencia o comportamiento.
Permite modificar las caracteristicas del objeto creado

Permite modificar las caracteristicas del objeto creado

1.5 ZONA DE ANÁLISIS: Permite incluir opciones de cálculo referentes a los objetos  geométricos creados, estos pueden ser: longitud, área, etc

Permite realizar cálculos específicos

Permite realizar cálculos específicos

1.6 ZONA DE INFORMACIÓN: Muestra un mensaje que varía en función de la acción ultima realizada. Es de mucha ayuda cuando se empieza a  familiarizar con el software.

Permite conocer la ultima acción realizada

Permite conocer la ultima acción realizada

1.7 LISTA DE TRANSFORMACIONES: Muestra un mensaje que especifíca las distintas transformaciones (rotación, semejanza, etc) que se realizaron a  algunos objetos de la zona de figura.

Especifíca el tipo de transformación realizado

Especifíca el tipo de transformación realizado

DESCARGAR EL SOFTWARE

Podemos utilizar TracenPoche(español) en  línea, eso gracias a una colaboración de Bertrand Rousset (colegio francoPeruano),  y el proyecto “TeP-Pérú” desarrollado en la Pontificia Universidad Católica del Perú.

Podemos descargar el Software para poder usarlo de manera local, más sin embargo no podemos guardar los  archivos generados (aunque  si se pueden guardar los scripts en un block de notas).

EL POLINOMIO VILLARREAL

El 21 de octubre de 1879 Federico Villarreal presenta su tesis para optar el grado de Bachiller en Matemáticas, la cual estaba conformado de 4 temas:

  1. Elevación de Polinomios
  2. Transformación de Imaginarias
  3. Volumen de Cuerpos Regulares
  4. Integración por Partes

En el primer tema insertó un método para poder elevar un polinomio a un exponente cualquiera (real o complejo), este método es recursivo y de fácil aplicación. Describirémos este método de la manera como fue planteada en dicha tesis:

Sea P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n un polinomio, el cual elevaremos al exponente “m” (este puede ser real o complejo) es decir:

(P(x))^m=(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n)^m\ \ \ \ m\in\Bbb R\ \ \vee\ \ m\in\Bbb C

la expresión resultante la denotamos por:

(P(x))^m=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots

Notemos que el resultado puede ser otro polinomio de grado “m.n” si el exponente “m” fuera un número entero positivo, en tanto que si fuera real (no entero positivo) o complejo resultaría una serie infinita.

El método de villarreal establece previamente una simbología:

  • El primer término del polinomio elevado al exponente de la potencia es el primero del desarrollo, de modo que se puede siempre suponer conocido a lo menos un término de la potencia, así tendremos: {b_0} = {a_0}^m.
  • Dividase el 2^{do} término del polinomio entre el primero y llámese el cociente C^{\prime} , dividase el 3^{er} término entre el primero y sea el cociente C^{\prime\prime}, el cuarto término entre el primero y sea el cociente C^{\prime\prime\prime} ….  es decir dividiendo cada término del polinomio, desde el segundo inclusive entre el primero, se obtendrán tantos cocientes como términos menos uno tiene el polinomio.
  • Aumentese uno al exponente de la potencia y llamando su suma i tendremos los índices: i,2i,3i, … es decir multiplicando los números naturales uno, dos, tres,…   por el exponente aumentado en uno, se pueden obtener tantos índices como términos menos uno tiene el polinomio.
  • Un término cualquiera se forma sumando los productos siguientes: el ultimo termino {b_{r - 1}} multiplicado por el primer cociente C’ y por el índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos \frac{{i - r}}{r}, el penúltimo término {b_{r - 2}}  multiplicado por el segundo cociente C’’ y por el segundo índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos \frac{{2i - r}}{r}, el antepenúltimo término {b_{r - 3}}  multiplicado por el tercer cociente C’’’ y por el tercer índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos \frac{{3i - r}}{r}, ……., así tendremos: b_r=b_{r-1}C'\frac{i-r}{r}+b_{r-2}C''\frac{2i-r}{r}+b_ {r-3}C'''\frac{3i-r}{r}+\cdots

EJEMPLO:

Supongamos que deseamos obtener \sqrt{3} con una cierta aproximación (por definir), entonces podemos proceder de la siguiente manera:

  1. Considerar \sqrt{3} como el resultado de sacar la raíz cuadrada a la  evaluación en un determinado valor de la variable x del polinomio P(x)=(1+x+x^2), es decir: \sqrt{3}=(P(1))^{1/2}=(1+1+1)^{1/2}
  2. La expresión resultante es una serie infinita, cuyos terminos podemos calcular uno a uno mediante el método de Villarreal.

Para hacer los cálculos respectivos fijamos la simbología establecida anteriormente:

C^{\prime}=1/1=1

C ^{\prime\prime}=1/1=1

i=1/2+1=3/2

2i=2\times3/2=3

Ahora recurrimos al método de Villarreal:

b_0=1^{1/2}=1

b_1=1\times1\times\frac{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}{1/2}=2

b_2=2\times1\times\frac{3/2-1/2}{1/2}+1\times1\times\frac{3/2-1/2}{1/2}= 6

\vdots


Luego obtendremos el siguiente resultado:

(P(x))^{1/2}=(1+x+x^2)^{1/2}=1+2x+6x^2+\cdots

Para poder hacer  la aproximación adecuada consideramos la condición de convergencia de Newton:

(P(x))^{1/2}=(1+x+x^2)^{1/2} converge \Longleftrightarrow \left|x+x^2\right|\leq 1

es decir se dá la convergencia si : -\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{\sqrt{5}-1}{2}

Luego si hacemos x=-1/2  en la expresión resultante:

(P(-1/2))^{1/2}=1+(-1/2)+(-1/2)^2+\cdots \approx 1.5

Esto significa que la convergencia será mas adecuada si tomasemos más términos en la expresión resultante.

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