EL POLINOMIO VILLARREAL

El 21 de octubre de 1879 Federico Villarreal presenta su tesis para optar el grado de Bachiller en Matemáticas, la cual estaba conformado de 4 temas:

  1. Elevación de Polinomios
  2. Transformación de Imaginarias
  3. Volumen de Cuerpos Regulares
  4. Integración por Partes

En el primer tema insertó un método para poder elevar un polinomio a un exponente cualquiera (real o complejo), este método es recursivo y de fácil aplicación. Describirémos este método de la manera como fue planteada en dicha tesis:

Sea P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n un polinomio, el cual elevaremos al exponente “m” (este puede ser real o complejo) es decir:

(P(x))^m=(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n)^m\ \ \ \ m\in\Bbb R\ \ \vee\ \ m\in\Bbb C

la expresión resultante la denotamos por:

(P(x))^m=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots

Notemos que el resultado puede ser otro polinomio de grado “m.n” si el exponente “m” fuera un número entero positivo, en tanto que si fuera real (no entero positivo) o complejo resultaría una serie infinita.

El método de villarreal establece previamente una simbología:

  • El primer término del polinomio elevado al exponente de la potencia es el primero del desarrollo, de modo que se puede siempre suponer conocido a lo menos un término de la potencia, así tendremos: {b_0} = {a_0}^m.
  • Dividase el 2^{do} término del polinomio entre el primero y llámese el cociente C^{\prime} , dividase el 3^{er} término entre el primero y sea el cociente C^{\prime\prime}, el cuarto término entre el primero y sea el cociente C^{\prime\prime\prime} ….  es decir dividiendo cada término del polinomio, desde el segundo inclusive entre el primero, se obtendrán tantos cocientes como términos menos uno tiene el polinomio.
  • Aumentese uno al exponente de la potencia y llamando su suma i tendremos los índices: i,2i,3i, … es decir multiplicando los números naturales uno, dos, tres,…   por el exponente aumentado en uno, se pueden obtener tantos índices como términos menos uno tiene el polinomio.
  • Un término cualquiera se forma sumando los productos siguientes: el ultimo termino {b_{r - 1}} multiplicado por el primer cociente C’ y por el índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos \frac{{i - r}}{r}, el penúltimo término {b_{r - 2}}  multiplicado por el segundo cociente C’’ y por el segundo índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos \frac{{2i - r}}{r}, el antepenúltimo término {b_{r - 3}}  multiplicado por el tercer cociente C’’’ y por el tercer índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos \frac{{3i - r}}{r}, ……., así tendremos: b_r=b_{r-1}C'\frac{i-r}{r}+b_{r-2}C''\frac{2i-r}{r}+b_ {r-3}C'''\frac{3i-r}{r}+\cdots

EJEMPLO:

Supongamos que deseamos obtener \sqrt{3} con una cierta aproximación (por definir), entonces podemos proceder de la siguiente manera:

  1. Considerar \sqrt{3} como el resultado de sacar la raíz cuadrada a la  evaluación en un determinado valor de la variable x del polinomio P(x)=(1+x+x^2), es decir: \sqrt{3}=(P(1))^{1/2}=(1+1+1)^{1/2}
  2. La expresión resultante es una serie infinita, cuyos terminos podemos calcular uno a uno mediante el método de Villarreal.

Para hacer los cálculos respectivos fijamos la simbología establecida anteriormente:

C^{\prime}=1/1=1

C ^{\prime\prime}=1/1=1

i=1/2+1=3/2

2i=2\times3/2=3

Ahora recurrimos al método de Villarreal:

b_0=1^{1/2}=1

b_1=1\times1\times\frac{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}{1/2}=2

b_2=2\times1\times\frac{3/2-1/2}{1/2}+1\times1\times\frac{3/2-1/2}{1/2}= 6

\vdots


Luego obtendremos el siguiente resultado:

(P(x))^{1/2}=(1+x+x^2)^{1/2}=1+2x+6x^2+\cdots

Para poder hacer  la aproximación adecuada consideramos la condición de convergencia de Newton:

(P(x))^{1/2}=(1+x+x^2)^{1/2} converge \Longleftrightarrow \left|x+x^2\right|\leq 1

es decir se dá la convergencia si : -\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{\sqrt{5}-1}{2}

Luego si hacemos x=-1/2  en la expresión resultante:

(P(-1/2))^{1/2}=1+(-1/2)+(-1/2)^2+\cdots \approx 1.5

Esto significa que la convergencia será mas adecuada si tomasemos más términos en la expresión resultante.

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Acerca de Moisés Toledo
Matemático por la Universidad Nacional Federico Villarreal de Lima - Perú, interesado en la investigación y desarrollo de recursos digitales para e aprendizaje. Desarrollador de Software en Álgebra y Geometría. Capacitador del Software LaTeX.

18 Responses to EL POLINOMIO VILLARREAL

  1. miguel says:

    nuk crei q fuera tan dificil esta webada puxa ta q todos los del san jose van a copiar esto

  2. anónimo says:

    esto es lo más facil q he estudiado
    un kiss..pa todos mua mua

  3. ivan says:

    esto es mucho mejor qu el binomio de newton… esto deberia enseñar mas en los colegios…

    • fredo says:

      En realidad es una particularidad de binomio de newton

  4. PeVez says:

    si amikos esto deberian enseñar en el cole pero nas mas me asen aser asignacion …

  5. Gran S says:

    holap, amigo esto es un exelente material, no seria mucho peidr mas trabajos en el campo de la matematica del sanmarquino villarreal, creo que tambien existe la integral de villarreal, por favor cuelagalos ^^

  6. es un exelente material

  7. Rider Garay says:

    Wow, estoy sorprendido de que Villarreal haya descubierto un método mas sencillo y de una manera más general que el propio Newton 🙂

    • Ciertamente es algo de resalte, considerando también que existen otros resultados interesantes obtenidos por Federico Villarreal …

    • arelyastolingon says:

      es cierto mi amigo…..al parecer Villarreal se extendio mas que Newton

  8. Queso :) says:

    Buen Trabajo, aunque no entiendo ni michi xD

    • No te preocupes Rider … con un poco de paciencia podrás entender con claridad el contenido …

  9. arelyastolingon says:

    Newton hizo un binomio y lo estudian en casi todo el mundo…….Villareal hizo un polinomio y no se sabe mucho de él, que horror….. A mi parecer Villarreal es mejor que Newton…..arriba PERU!!!!

    • Lamentablemente es asi … mas podemos divulgarlo, ayudemos en ello!!!

  10. Maria Jose P says:

    Moises muchas gracias por visitar mi blog Musas Matemáticas y compartir el polinomio de Villarreal con mis estudiantes. Aprender es compartir y así se disfruta más!! 🙂

    • Hola María José, gracias a ti por compartir, y por el trabajo maravilloso que haces en vuestro blog … saludos desde Lima-Perú!

  11. ever torres says:

    diriamos una obra maestra ,,,demostrando la superioridad del intelecto peruano

  12. Pingback: Newton y El polinomio de Villareal | Ingeniería e Ingeniería

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