Integración por el método de Villarreal – Parte I

Federico Villarreal al presentar su tesis de Bachiller ante la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (Lima – Perú), realizó una observación notable sobre el método de integración por partes. Dada la importancia del tema, este será tratado en tres post, cada uno de los cuales indicará una subparte de la misma, los puntos a tratar serán:

  1. Sobre expresiones suceptibles de generalización (tratado ahora).
  2. Método de traspasos.
  3. Aplicación del método de traspasos.

Es claro que no describiremos la teoría de integración (en el sentido de riemann), el presente desarrollo asumirá que el lector posee por lo menos nociones sobre el proceso de integración.

SOBRE EXPRESIONES SUCEPTIBLES DE GENERALIZACIÓN

Es bien conocido que las operaciones aritméticas de composición (+, \times()^n) y descomposición (-\div\sqrt[n]{{}}) cuando son tomadas en forma sucesiva no siempre es posible invertir el orden en la que se operan. Por ejemplo: a la cantidad a agregarle b y quitarle c es lo mismo que quitarle primero c y agregarle después b, es decir (a+b)-c=(a-c)+b

Pero si a la cantidad a se agrega b y se multiplica por c no es lo mismo que multiplicar a por c y agregar b, es decir: (a+b)c \ne ac+b sino que debe añadirse bc para obtener el mismo resultado. Podemos resumir lo mencionado líneas arriba mediante el siguiente principio:

“cuando hay dos operaciones sucesivas de composición o descomposición, ambas del mismo orden, se puede invertir su cálculo; pero si son de distinto orden no se puede cambiar su enunciado sino con cierta condición; más si una o ambas operaciones son imposibles no es permitida su permutación”…(#)

El anterior principio sirve para mostrar que existen diferentes proposiciones suceptibles de una expresión general. Es así que el Dr. Villarreal plantea presentar el caso de integración por partes como uno suceptible de generalización.

Pasamos ahora a recordar (brevemente) en que se basa el método de integración por partes:

(f(x)\cdot g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^{\prime}(x), esto por la regla de la derivada de un producto.

\Rightarrow \int (f(x)\cdot g(x))^{\prime}\partial x = \int f^{\prime}\cdot g(x) \partial x+ \int f(x)\cdot g^{\prime}(x)\partial x, integrando a ambos lados de la igualdad.

\Rightarrow \int f(x)\cdot g^{\prime}(x) \partial x = f(x)\cdot g(x) - \int f^{\prime}(x)\cdot g(x)\partial x , usando el hecho que la derivada e integral son operadores inversos y despejando adecuadamente.

Podemos notar entonces que dada una integral y=\int{f(x)}dx esta es posible escribirla como y=\int{A\cdot dB} siendo esta ultima expresada por la combinación de dos términos con signos alternados. Esto da pie a considerar la integración por partes como suceptible de generalización y a corroborar lo dicho en (#) puesto que y=\int{f(x)}dx escrita en términos de A, B tomará una forma mas simple o complicada segun sean A y B escogidos en forma adecuada.

Recordemos tambien que el método de integración por partes puede subdividirse en dos casos:

  • Descomponiendo la función en sumandos: este método es aplicable a funciones racionales, que descompuestos en sus fracciones parciales se pueden integrar algebraicamente o por logaritmos o por arco tangentes.
  • Descomponiendo la función en factores: aplicable a los demás casos.

Al segundo método se le ha dado (impropiamente) el nombre de integración por partes, pues aunque los factores pueden considerarse como partes de ese producto, tambien lo son los sumandos como parte del total. Por tanto a los dos juntos deberían llamarseles integración por partes, a la primera integración por sumandos y a la segunda integración por factores.

Habiendo hecho notar los principios sobre los cuales el Dr. Federico Villarreal inicia su estudio sobre la integración por traspasos, finalizamos la primera parte. Dejando para el siguiente post la descripción del método en si.

Anuncios

Acerca de Moisés Toledo
Matemático por la Universidad Nacional Federico Villarreal de Lima - Perú, interesado en la investigación y desarrollo de recursos digitales para e aprendizaje. Desarrollador de Software en Álgebra y Geometría. Capacitador del Software LaTeX.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: