Integración por el método de Villarreal – Parte II

MÉTODO DE TRASPASOS
Después de una pausa en el desarrollo del tema “Integración por el método de traspasos” continuamos en esta oportunidad con la descripción del método, antes haremos notorio algunas observaciones relativas a las técnicas de integración.

Observaciones:

  1. El método de integración inmediata tiene sus reglas fijas , La inversa de la derivación:
    \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + cte , o tambien \int \sqrt{x} dx = \frac{2}{3}\sqrt{x^3}+ cte (cte: constante real)
  2. El método de integración por sustitución no posee sus reglas fijas, pues depende de los casos que se presenten:
    1. Para convertir en algebraica una expresión trascendente \int \ln(x+1)\cos{x} dx
    2. Para bajar el orden de las ecuaciones integrales, para hacerlas homogéneas, etc (esto constituye parte de la teoria de ecuaciones integrales)
    3. Para hacer racional a una función inconmensurable \int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx}
  3. El método de integración por sumandos tambien tiene sus reglas fijas:
    1. Si el denominador de la fracción tiene raíces iguales \int{\frac{dx}{x^2-6x+9}}
    2. Si el denominador tiene raíces distintas \int{\frac{dx}{x^2+3x+10}}
    3. Si el denominador tiene raíces imaginarias \int{\frac{dx}{x^2+1}}
  4. Sin embargo no se ha hecho lo mismo con la integración por factores, atendiendo a ello Juan Bernoulli sentó lo que se denomina la base del cálculo integral (en analogía a lo que el método de Taylor lo es al cálculo diferencial). Así considerando como factor constante dx tenemos:
  5. y=\int{f(x)}dx=xf(x) - \int{f^{\prime}(x)x}dx
    Pero \int{f^{\prime}(x)x}dx=\frac{x^2}{2} f^{\prime}(x) -\frac{1}{2}\int{f^{\prime\prime}(x)x^2}dx
    Así y=xf(x) - \frac{x^2}{2!}f^{\prime}(x) + \frac{1}{2!}\int{f^{\prime\prime}(x)x^2}dx

    Procediendo análogamente para la ultima integral:
    y= xf(x) - \frac{x^2}{2!}f^{\prime}(x)+ \frac{x^3}{3!}f^{\prime\prime}(x) - \frac{x^4}{4!}f^{\prime\prime\prime}(x) + \cdots (*)

    Si bien es cierto que el factor dx se presenta de forma natural, el método no supone que precisamente deba tomarse ese factor sino cualquier otro, ya que al hacerlo lo particulariza, esto es la escencia del método de integración por traspasos del Dr. Federico Villarreal.

PRINCIPIO DE INTEGRACIÓN POR TRASPASOS
Dada la expresión y=\int{f(x)}dx siempre es posible expresarla en la forma y=\int{A\cdot dB} y “sin hacer traspasos” de términos, podemos interpretar la fórmula (*) del modo siguiente:

  1. Tomar A después diferenciarla y dividir por dx, volver a diferenciar y dividir por dx, etc. Es decir, calcular las derivadas sucesivas de A.
  2. Tomar B después multiplicarla por dx e integrar, volver a multiplicar por dx e integrar, etc. Es decir, calcular las integrales multiples de B.
  3. Multiplicar los resultados homólogos y dar los signos mas y menos, es decir
    A\cdot B - A^{\prime}\cdot \int{B} dx+ A^{\prime\prime}\cdot \int\int{B} dx- A^{\prime\prime\prime}\cdot \int\int\int{B} dx\cdots (**)
    Como por la diferenciación va aumentando el coeficiente y disminuyendo el exponente, cuando este sea cero la derivada es constante y la siguiente será cero, por tanto en este caso habrá integración exacta. Así tambien, como por la integración va disminuyendo el coeficiente y aumentando el exponente resulta que si una integración es constante la siguiente no será cero, pues al multiplicar por dx la integración dará x, pero si el exponente es negativo la integración llegará a ser infinita, y en este caso la integral (como se sabe) es un logaritmo.

Ejemplo: Sea la función x^4, cuya integral puede ser expresada en formas distintas y por tanto el factor dx no es el único que se presenta de forma “natural“, así pues:
z=\int{x^4}dx= \int{x^2 \times x^2}dx= \int{x^2 \times\int{x^2}dx}= \int{x^2 \times d(\frac{x^3}{3})}

aplicando el método para A=x^2 y B=\frac{x^3}{3} tenemos en cada caso:
A=x^2; \frac{dA}{dx}=2x; \frac{d^{2}A}{dx^{2}}=2; \frac{d^{3}A}{dx^{3}}=0; B=\frac{x^3}{3}; \int{B}dx= \frac{x^4}{12}; \int{(\int{B}dx)}dx = \frac{x^5}{60}

note que no consideramos la cuarta iteración para B puesto que la cuarta iteración para A fue cero, luego la integral resultante de acuerdo a (**) será:
z= \frac{x^5}{3}- \frac{x^5}{6}+ \frac{x^5}{30}= \frac{x^5}{5}

si bien es cierto la función considerada para la integración es bastante simple, nos permite hacer notar la recursividad del método y la tendencia a buscar una generalización del mismo (esto en realidad constituye un caso muy simple del método de traspasos del Dr. Federico Villarreal, note que si estamos realizando traspasos, con la descripción de la siguiente sección podrá usted darse cuenta de ello y corroborará que la manera de hacerlo constituye un caso trivial).

Para fijar notación al término A lo denominaremos factor integral en tanto que B será el factor integral, esto debido a las derivaciones e integraciones sucesivas que se realizan en cada paso (o proceso de iteración) a considerar.

VARIANTES DEL MÉTODO DE TRASPASOS
Los traspasos pueden ser realizados de dos maneras, de A a B o de B a A, así como tambien es posible considerar un proceso “misturado” de ambos, pero por el momento solo consideraremos los dos primeros casos y dejaremos el ultimo para el próximo post.

  1. Traspaso del factor diferencial al factor integral: en este primer caso estamos considerando el traspaso de A a B, así pues la función z expresada como z=\int{A}dB esta en su forma “natural“, e indicamos la regla de formación: “se saca la derivada dA y se traspasa a B lo que se quiera (sea factor o divisor, constante o variable), después se integra B (la expresión resultante es B_1). Se vuelve a derivar, en este caso a A_1, y se hace el traspaso a B_1 en seguida se integra B_1 (la expresión resultante es B_2), etc.” En resumen:
  2. Primer paso: A \Rightarrow B, no efectuamos ninguna operación, tan solo escogemos los A y B adecuados.
    Segundo paso: dA=T_1\cdot A_1 \Rightarrow \int{B\cdot T_1}dx = B_1, donde T_1 es el término a traspasar.
    Tercer paso: dA_1=T_2\cdot A_2 \Rightarrow \int{B_1\cdot T_2}dx = B_2, donde T_2 es el nuevo término a traspasar.
    etc.
    Ultimo paso: Colocamos los terminos A_i, B_i para obtener el resultado final del proceso de integración:
    z=\int{A dB}= \sum{\pm A_i\cdot B_i}, i=0,1,\ldots,m, (m es el número de pasos y A_0=A, B_0=B).

    Por esta operación se disminuye el cálculo a bondad, puesto que se puede traspasar toda la variable (pero de modo que se pueda integrar B) asi la siguiente diferencial será cero y por lo tanto se acorta el cálculo.

    Ejemplo: Sea la función z=\int{x^4}dx damos la forma que deseamos z=\int{x^2\cdot d(\frac{x^3}{3})} luego aplicando la regla de formación:

    Primer paso: A=x^2 \Rightarrow B=\frac{x^3}{3}, no efectuamos ninguna operación, tan solo identificamos A y B.
    Segundo paso: dA=x\cdot 2=T_1\cdot A_1 \Rightarrow \int{\frac{x^3}{3}\cdot x}dx = \frac{x^5}{15} =B_1, donde T_1=x es el término a traspasar.
    Tercer paso: dA_1=d(2)=0, puesto que la derivada es nula, paramos el proceso.
    Ultimo paso: Colocamos los terminos A_0, A_1, B_0, B_1 para obtener el resultado final del proceso de integración:
    z=\int{x^4}dx= A_0\cdot B_0 - A_1\cdot B_1 =x^2\cdot \frac{x^3}{3}- 2\cdot \frac{x^5}{15}=\frac{x^5}{5}

  3. Traspaso del factor integral al factor diferencial: en este segundo caso estamos considerando el traspaso de B a A, así pues la función z expresada como z=\int{A}dB esta en su forma “natural“, e indicamos la regla de formación: “se saca la derivada dA y se traspasa lo que se quiera de B, después se integra B (la expresión resultante es B_1). Se vuelve a derivar, en este caso a A_1 (expresión que resulta de multiplicar la derivada de A por el termino traspasado de B), y se traspasa lo que se desea de B_1 en seguida se integra B_1 (la expresión resultante es B_2), etc.” En resumen:
  4. Primer paso: A \Rightarrow B, no efectuamos ninguna operación, tan solo escogemos los A y B adecuados.
    Segundo paso: dA\cdot T_1=A_1 \Rightarrow \int{B^{*}_{1}}dx = B_1, donde B=T_1\cdot B^{*}_{1} y T_1 es el término traspasado a dA.
    Tercer paso: dA_1\cdot T_2= A_2 \Rightarrow \int{B^{*}_{2}}dx = B_2, donde B_1=T_2\cdot B^{*}_{2} y T_2 es el término traspasado a dA_1.
    etc.
    Ultimo paso: Colocamos los terminos A_i, B_i para obtener el resultado final del proceso de integración:
    z=\int{A dB}= \sum{\pm A_i\cdot B_i}, i=0,1,\ldots,m, (m es el número de pasos y A_0=A, B_0=B).

    Ejemplo: Sea la función z=\int{x^4}dx damos la forma que deseamos z=\int{x^2\cdot d(\frac{x^3}{3})} luego aplicando la nueva regla de formación:

    Primer paso: A=x^2 \Rightarrow B=\frac{x^3}{3}, no efectuamos ninguna operación, tan solo identificamos A y B.
    Segundo paso: dA\cdot T_1=2x\cdot x =2x^2 \Rightarrow \int{B^{*}_{1}}dx =\int{\frac{x^2}{3}}=\frac{x^3}{3^2}= B_1, donde B=T_1\cdot B^{*}_{1}=x\cdot \frac{x^2}{3} y T_1=x es el término traspasado a dA.
    Tercer paso: dA_1\cdot T_2= 2^2x\cdot x= 2^2x^2= A_2 \Rightarrow \int{B^{*}_{2}}dx = \int{\frac{x^2}{3^2}}=\frac{x^3}{3^3}= B_2, donde B_1=T_2\cdot B^{*}_{2}=x\cdot \frac{x^2}{3^2} y T_2=x es el término traspasado a dA_1.
    siguiendo de forma similar obtendremos una serie infinita (no siempre es el caso).
    Ultimo paso: Colocamos los terminos A_i, B_i para obtener el resultado final del proceso de integración:
    z=\int{A dB}= A_0\cdot B_0 -A_1\cdot B_1 + A_2\cdot B_2 \cdots=\frac{x^5}{3}- \frac{2x^5}{3^2}+ \frac{2^2x^5}{3^3}- \frac{2^3x^5}{3^4}\cdots, (aquí A_0=A, B_0=B).

    Este ejemplo muestra que dada una integral esta puede ser aproximada por una serie infinita, para nuestro caso dicha serie converge a \frac{x^5}{5}, así suponiendo x=1 se tiene:
    \frac{1}{5}= \frac{1}{3}- \frac{2}{3^2}+ \frac{2^2}{3^3}- \frac{2^3}{3^4}\cdots

    en efecto, siendo esta progresión geométrica decreciente (cuya razón es \frac{-2}{3}) tendremos:
    \frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{2}{3}}= \frac{1}{5}.

Paramos en este punto para tratar en el próximo post una mistura de los métodos anteriores y una aplicación haciendo uso de tal proceso (misturado), además de una observación sobre exponentes negativos.

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Acerca de Moisés Toledo
Matemático por la Universidad Nacional Federico Villarreal de Lima - Perú, interesado en la investigación y desarrollo de recursos digitales para e aprendizaje. Desarrollador de Software en Álgebra y Geometría. Capacitador del Software LaTeX.

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